Analyse Mathématique. Grands Théorèmes Du Vingtième Siècle par Cédric Villani

Théorème vivant
par Cédric Villani

Théorème vivant est le récit de la genèse d’une avancée mathématique. Nous voici emportés dans le quotidien d’un jeune chercheur de talent : un véritable « road trip », de Kyoto à Princeton et de Lyon à Hyderabad, dont Villani tient, au jour le jour, le carnet de bord. Entre des échanges enflammés avec son collaborateur et compagnon de route, quelques refrains de chansons fredonnés au fil des équations et les histoires merveilleuses que ce père de famille raconte à ses enfants, on suit la lente et chaotique élaboration d’un nouveau théorème qui lui vaudra la plus prestigieuse distinction du monde des mathématiques.
Aux antipodes de l’ouvrage de vulgarisation scientifique traditionnel, Théorème vivant est un chant passionné qui se lit comme un roman d’aventures, jalonné de portraits de quelques-uns des plus grands noms de l’histoire des mathématiques et parsemé de vertigineuses équations qui exercent sur le lecteur une irrésistible fascination.
Avis à tous ceux qui gardent un souvenir cruel de l’étude des fonctions et de la résolution d’équations à plus d’une inconnue : Théorème vivant vous réconciliera avec cette science dont Cédric Villani sait comme personne, par la grâce de sa passion, transmettre la magie, la beauté et la poésie.


Analyse mathématique I
par Roger Godement

Les deux premiers volumes de cet ouvrage sont consacrés aux fonctions dans R ou C, y compris la théorie élémentaire des séries et intégrales de Fourier et une partie de celle des fonctions holomorphes. L’exposé, non strictement linéaire, combine indications historiques et raisonnements rigoureux. Il montre la diversité des voies d’accès aux principaux résultats afin de familiariser le lecteur avec les méthodes de raisonnement et idées fondamentales plutôt qu’avec les techniques de calcul, point de vue utile aussi aux personnes travaillant seules.
Les volumes 3 et 4 traiteront principalement des fonctions analytiques (théorie de Cauchy, théorie analytique des nombres et fonctions modulaires), ainsi que du calcul différentiel sur les variétés, avec un court exposé de l’intégrale de Lebesgue, en suivant d’assez près le célèbre cours donné longtemps par l’auteur à l’Université Paris 7.
On reconnaîtra dans ce nouvel ouvrage le style inimitable de l’auteur, et pas seulement par son refus de l’écriture condensée en usage dans de nombreux manuels.

Une histoire de l’invention mathématique
par Jean Dhombres, Carlos Alvarez

Pour sa these qu’il exposa des 1797, Gauss a fourni une demonstration difficile et topologiquement incomplete du theoreme qui affirme l’existence d’au moins une racine complexe a tout polynome reel non constant: tel se presente le theoreme fondamental de l’algebre. Gauss ne supposait pas l’existence des entites qui avaient ete imaginees par Descartes pour permettre la decomposition de tout polynome en facteurs du premier degre. En 1795, Laplace avait en effet rigoureusement demontre que ces imaginaires, une fois supposes, se reduisaient aux nombres complexes, lesquels accaparaient le nom de quantites imaginaires . Une dizaine d’annees apres, Argand fournissait une demonstration aisee du theoreme fondamental. Des demonstrations inventives differentes se succederent, de Gauss encore, de Cauchy, de Liouville, etc., et trouverent une place variable dans les grands traites classiques des mathematiques europeennes jusqu’a la fin du XIXe siecle, ou l’analyse reelle restait separee de l’analyse complexe. C’est cette periode d’un siecle que le present volume inventorie, donnant a lire en francais les textes correspondants, explicitant le contexte intellectuel des preuves, mais reservant pour un prochain et dernier volume les explications algebriques a la facon de Galois et les preuves donnees au XXe siecle.

Le dernier théorème de Fermat
par Simon Singh

Pierre de Fermat, l’un des plus grands mathématiciens français du XVII siècle, s’était contenté de porter dans la marge de son cahier de travail:”xn + yn = zn impossible si n > 2. J’ai trouvé une solution merveilleuse, mais la place me manque ici pour la développer.”

Ce théorème allait devenir, pour les trois cent cinquante années à venir, le Graal du monde des mathématiques. Les plus puissants esprits de tous les siècles et de toutes les nations tentèrent de venir à bout de cette équation. Léonhard Euler, génie du XVIII, dut admettre sa défaite, Sophie Germain, au XIXe siècle prit l’identité d’un homme pour se lancer dans des études jusqu-là interdites aux femmes. Evariste Galois, la vieille de sa mort, jeta sur quelques feuilles une histoire une théorie qui allait révolutionner la science. Yutaka Taniyama se suicida par dépit alors que Paul Wolfskehl trouva dans cette énigme une raison de vivre. Et en 1993, un jeune Anglais, Andrew Wiles, professeur à Princeton, put enfin régler, après sept années de recherche solitaire et quelques mois de doutes, le sort de ce fantastique problème devant la communauté scientifique émerveillée.

Le dernier Théorème de Fermat est le récit de cette quête. Une véritable épopée qui met en scène, à travers l’histoire des mathématiques, les intelligentes les plus brillantes et la fantastique détermination d’un homme.

Simon Sing est docteur en physique nucléaire. Il a travaillé au laboratoire du CERN à Genève; il est aussi journaliste scientifique.


Histoire de l’analyse
par Pierre Dugac

J’ai essayé de me plonger dans l’histoire des mathématiques pour apprendre la langue que parlaient les mathématiciens du passé, pour retrouver les idées qui les guidaient et les méthodes qu’ils utilisaient. Je ne cache pas mon ambition de faire entendre ici les voix de ces savants en leur donnant souvent la parole pour essayer de mieux dévoiler le magnifique héritage qu’ils nous ont légué […]. La notion de limite et les éléments des fondements de l’analyse constituent le thème central de ce travail. J’ai été très attentif aux moments cruciaux où apparaissaient les différentes notions dont celle de limite était le fil directeur. Elle trouve sors point de départ dans une image géométrique : celle d’un carré inscrit dans un cercle. Euclide en tirera la première démonstration d’approximation du nombre Pi, ouvrant ainsi la voie au développement de ce concept. Par ailleurs je souhaite avoir mis en évidence un effort – ininterrompu des Babyloniens jusqu’au XXe siècle – qui a permis d’aboutir à la mathématique d’aujourd’hui. Pierre Dugac ” Pierre Dugac s’est attaché à la recherche et à l’analyse de documents inédits, de cours manuscrits, de correspondances scientifiques ou personnelles, d’éléments biographiques, etc. qui lui permettent de mieux saisir les cheminements scientifiques et en même temps l’unité des oeuvres et des hommes. Le mot cheminement revient souvent sous sa plume : une notion, une œuvre, comme une -vie, cheminent, il faut en suivre les étapes mais aussi les détours, les hésitations, les retours en arrière, les élans, les fatigues, les apothéoses, les déchirements. Cette compréhension en profondeur des personnages qui vivent sous ses ‘ yeux – comme de leur couvre mathématique qui le fascine et le passionne – donne à son travail une sensibilité, un relief et une richesse très remarquables. Il savait allier la finesse et la délicatesse de ses intuitions, parfois proches de celles d’un romancier et d’un poète, à la rigueur et à l’honnêteté scrupuleuse d’un mathématicien et d’un historien. ” Jeanne Peiffer, Revue d’histoire des mathématiques.

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